瞬間部分積分

部分積分，結構面倒ですね．特に三角関数の場合には，二回部分積分を行わなくてはならない．

しかし！最近，瞬間部分積分，なるものを見つけました．すでに当たり前になっている手法かもしれませんが．こちら，を参考にしました

その条件は，

\( \Large \displaystyle \int f(x) g(x) dx \)

において，

　f(x)を何回か微分したら０になる．
　g(x)は積分可能

な場合に成り立つようです．その手順とは，

　１．f(x)を微分して，定数となるまで続ける
　２．g(x)を積分していく
　３．"+,-,+,-"と符号をつける
　４．１．２．３の積を作る
　５．定数を加える

です．

・簡単な例1

\( \Large \displaystyle \int x \ e^x dx \)

を考えていきます．真っ当に解くと，

\( \Large \displaystyle (fg)' = f'g + fg' \)

\( \Large \displaystyle f'g = (fg)' - fg' \)

\( \Large \displaystyle \int f'g \ dx= \int (fg)' \ dx- \int fg' \ dx = fg - \int fg' \ dx\)

となるので，

\( \Large \displaystyle f' = e^x, \ g =x \)

とすれば，

\( \Large \displaystyle f = e^x, \ g' =1 \)

となるので，

\( \Large \displaystyle \int x \ e^x dx = e^x x - \int e^x \ dx = x e^x - e^x + C \)

です．瞬間部分積分を使えば，

\( \Large \displaystyle \int x \ e^x dx = x e^x - e^x + C \)

・簡単な例2

\( \Large \displaystyle \int x^2 \ e^x dx \)

を考えていきます．瞬間部分積分を使えば，

\( \Large \displaystyle \int x^2 \ e^x dx = x^2 e^x -2x e^x + 2 e^x + C \)

・簡単な例3_三角関数を含む場合

\( \Large \displaystyle \int x^2 \ cos \ x \ dx \)

を考えていきます．瞬間部分積分を使えば，

\( \Large \displaystyle \int x^2 \ cos \ x \ dx = x^2 sin \ x-2x \ cos \ x - 2 sin \ x + C =(x^2 - 2) sin \ x -2x \ cos \ x + C\)

次に，瞬間部分積分の証明を行っていきます．